Giới hạn hàm số

...Date : 22-11-2024...

	◕ Thông báo:Chuyển đổi trang WEB về địa chỉ mới https://theza2.blogspot.com (Cải thiện tốc độ truy cập, giao diện thân thiện hơn) Kính mời mọi người chuyển qua nhà mới ◕ Lời nhắn: ⊱ Mình học Bách Khoa nên ai đó ghét Bách Khoa thì có thể lặng lẽ đi ra ⊱ Mình là dân Thanh Hóa nên ai đó ghét Thanh Hóa cũng có thể lặng lẽ rời đi ⊱ Mình học cơ khí, trang này chỉ làm ra theo sở thích nên nếu thấy không hài lòng có thể nhẹ nhàng tắt trang ⊱ Mình hiện tại có những việc riêng phải bận cho cuộc sống của mình, sẽ không còn thường xuyên hồi đáp các bình luận, mong được lượng thứ..
	◕ Dịch vụ: Nhận thiết kế Form mẫu Excel, Google Sheet: ⊱ Hỗ trợ quản lý, chiết xuất dữ liệu; Tạo bảng báo cáo, thống kê nhanh; ⊱ Tạo hệ thống thiết lập và quản lý tiến độ công việc một cách trực quan; Tạo bảng nhập liệu, tính toán hỗ trợ công việc.. ◕ Dùng thử: Chương trình phần mềm xếp thép tối ưu ⊱ Đây là chương trình mình viết ra để hỗ trợ công việc tính toán đầu vào vật tư thép hình dạng thanh (L, H, U, ...) (Nhắn tin trực tiếp tới fanpage Theza2 để trao đổi)

Học Tập > Giải tích I

Giới hạn hàm số

✪ Định nghĩa 1:
_Khi $x$ tiến gần tới $a$, đồng thời $f(x)$ có giá trị gần tới $A$ ta có: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = A$$ _Giới hạn trái:
Khi $x$ tiến gần tới $a$ và $x < a$, đồng thời $f(x)$ có giá trị gần tới $A$ ta có: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^-}} f(x) = A$$ _Giới hạn phải:
Khi $x$ tiến gần tới $a$ và $x > a$, đồng thời $f(x)$ có giá trị gần tới $A$ ta có: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^+}} f(x) = A$$ ●Ví dụ:$$\matrix{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ({x^2} + 2) = 6\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {2^{\frac{1}{x}}} = 0\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {2^{\frac{1}{x}}} = + \infty }$$ ✪ Định nghĩa 2:(Cái định nghĩa này ai mà không quen thì không cần phải cố hiểu làm gì :v. Định nghĩa này chỉ thường được dùng để chứng minh một giới hạn chứ không phải tìm giới hạn)
_Hàm $f(x)$ xác định trong lân cận $x=a$. Khi đó, số thực $L$ được gọi là giới hạn của $f(x)$ khi $x \to a$ nếu : $$\matrix{ \forall \varepsilon > 0,\matrix{ {\exists {\delta _\varepsilon } > 0}&{thỏa}&{mãn}&{|x - a| < {\delta _\varepsilon }} }\\ \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon }$$ _Giới hạn trái:$$\matrix{ \forall \varepsilon > 0,\matrix{ {\exists {\delta _\varepsilon } > 0}&{thỏa}&{mãn}&{a - {\delta _\varepsilon } < x < {\delta _\varepsilon }} }\\ \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon }$$ _Giới hạn phải:$$\matrix{ \forall \varepsilon > 0,\matrix{ {\exists {\delta _\varepsilon } > 0}&{thỏa}&{mãn}&{{\delta _\varepsilon } < x < a + {\delta _\varepsilon }} }\\ \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon }$$ ●Ví dụ:Chứng minh $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x.c{\rm{os}}\frac{1}{x} = 0$
_Hàm số $f(x)=x.c{\rm{os}}\frac{1}{x}$ không xác định tại $x=0$ nhưng xác định tại lân cận $x=0$
_Với mọi $\varepsilon>0$ nhỏ tùy ý, ta có : $$|f(x) - 0| = |x.\cos \frac{1}{x}| < \varepsilon $$ Ta cần chứng minh $\forall \varepsilon > 0,\matrix{ {\exists {\delta _\varepsilon } > 0}&{thỏa}&{mãn}&{|x - a| < {\delta _\varepsilon }} } \Leftrightarrow |x| < {\delta _\varepsilon }$
_Ta có: $|x.\cos \frac{1}{x}| = |x|.|\cos \frac{1}{x}| \le |x|$
_Ta chọn ${\delta _\varepsilon } = \varepsilon $
Khi đó $$\forall \varepsilon > 0,\matrix{ {\exists {\delta _\varepsilon } = \varepsilon }&{thỏa}&{mãn}&{|x| < {\delta _\varepsilon }} } \Rightarrow |x.\cos \frac{1}{x}| < \varepsilon $$ _Vậy theo định nghĩa $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x.c{\rm{os}}\frac{1}{x} = 0(đpcm)$

✪ Chú ý:
●$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \mathop {\lim }\limits_{x \to x_{_0}^ - } f(x) = L\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to x_{_0}^ + } f(x) = L } \right.$
●$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ nghĩa là $x$ tiến tới rất gần $x_0$ chứ không phải $x=0$
_Ví dụ: $$\matrix{ f(x) = \left\{ \matrix{ 1,x \ne 0\\ 0,x = 0 } \right.\matrix{ {khi}&{đó}&{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 1} }\\ f(x) = \frac{1}{x}\matrix{ {.khi}&{đó}&{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \infty } } }$$ ✪ Tính chất:
Giả sử $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} f(x) = A,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} g(x) = B$ với $A,B$ hữu hạn. Khi đó:
● $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} c.f(x) = c\mathop {.\lim }\limits_{x \to x_0} f(x) = c.A$
● $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} {\rm{[}}f(x) \pm g(x){\rm{]}}=\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} f(x) \pm \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} g(x) = A \pm B$
● $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\rm{[}}f(x).g(x){\rm{]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x).\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = A.B$
● $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\rm{[}}\frac{{f(x)}}{{g(x)}}{\rm{]}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x)}} = \frac{A}{B},(B \ne 0)$
● $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt[n]{{f(x)}}. = \sqrt[n]{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)}} = \sqrt[n]{A},(\matrix{ {\sqrt[n]{A}}&{xác}&{định)} }$
● $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\rm{[}}f{(x)^{g(x)}}{\rm{]}} = {A^B},(B > 0)$