XtGem Forum catalog



...Date : 20-01-2021...
Giới hạn hàm số
✪ Định nghĩa 1:
_Khi $x$ tiến gần tới $a$, đồng thời $f(x)$ có giá trị gần tới $A$ ta có: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = A$$ _Giới hạn trái:
Khi $x$ tiến gần tới $a$ và $x < a$, đồng thời $f(x)$ có giá trị gần tới $A$ ta có: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^-}} f(x) = A$$ _Giới hạn phải:
Khi $x$ tiến gần tới $a$ và $x > a$, đồng thời $f(x)$ có giá trị gần tới $A$ ta có: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^+}} f(x) = A$$ ●Ví dụ:$$\matrix{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} ({x^2} + 2) = 6\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {2^{\frac{1}{x}}} = 0\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {2^{\frac{1}{x}}} = + \infty }$$ ✪ Định nghĩa 2:(Cái định nghĩa này ai mà không quen thì không cần phải cố hiểu làm gì :v. Định nghĩa này chỉ thường được dùng để chứng minh một giới hạn chứ không phải tìm giới hạn)
_Hàm $f(x)$ xác định trong lân cận $x=a$. Khi đó, số thực $L$ được gọi là giới hạn của $f(x)$ khi $x \to a$ nếu : $$\matrix{ \forall \varepsilon > 0,\matrix{ {\exists {\delta _\varepsilon } > 0}&{thỏa}&{mãn}&{|x - a| < {\delta _\varepsilon }} }\\ \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon }$$ _Giới hạn trái:$$\matrix{ \forall \varepsilon > 0,\matrix{ {\exists {\delta _\varepsilon } > 0}&{thỏa}&{mãn}&{a - {\delta _\varepsilon } < x < {\delta _\varepsilon }} }\\ \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon }$$ _Giới hạn phải:$$\matrix{ \forall \varepsilon > 0,\matrix{ {\exists {\delta _\varepsilon } > 0}&{thỏa}&{mãn}&{{\delta _\varepsilon } < x < a + {\delta _\varepsilon }} }\\ \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon }$$ ●Ví dụ:Chứng minh $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x.c{\rm{os}}\frac{1}{x} = 0$
_Hàm số $f(x)=x.c{\rm{os}}\frac{1}{x}$ không xác định tại $x=0$ nhưng xác định tại lân cận $x=0$
_Với mọi $\varepsilon>0$ nhỏ tùy ý, ta có : $$|f(x) - 0| = |x.\cos \frac{1}{x}| < \varepsilon $$ Ta cần chứng minh $\forall \varepsilon > 0,\matrix{ {\exists {\delta _\varepsilon } > 0}&{thỏa}&{mãn}&{|x - a| < {\delta _\varepsilon }} } \Leftrightarrow |x| < {\delta _\varepsilon }$
_Ta có: $|x.\cos \frac{1}{x}| = |x|.|\cos \frac{1}{x}| \le |x|$
_Ta chọn ${\delta _\varepsilon } = \varepsilon $
Khi đó $$\forall \varepsilon > 0,\matrix{ {\exists {\delta _\varepsilon } = \varepsilon }&{thỏa}&{mãn}&{|x| < {\delta _\varepsilon }} } \Rightarrow |x.\cos \frac{1}{x}| < \varepsilon $$ _Vậy theo định nghĩa $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x.c{\rm{os}}\frac{1}{x} = 0(đpcm)$

✪ Chú ý:
●$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \mathop {\lim }\limits_{x \to x_{_0}^ - } f(x) = L\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to x_{_0}^ + } f(x) = L } \right.$
●$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)$ nghĩa là $x$ tiến tới rất gần $x_0$ chứ không phải $x=0$
_Ví dụ: $$\matrix{ f(x) = \left\{ \matrix{ 1,x \ne 0\\ 0,x = 0 } \right.\matrix{ {khi}&{đó}&{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 1} }\\ f(x) = \frac{1}{x}\matrix{ {.khi}&{đó}&{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \infty } } }$$ ✪ Tính chất:
Giả sử $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} f(x) = A,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} g(x) = B$ với $A,B$ hữu hạn. Khi đó:
● $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} c.f(x) = c\mathop {.\lim }\limits_{x \to x_0} f(x) = c.A$
● $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} {\rm{[}}f(x) \pm g(x){\rm{]}}=\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} f(x) \pm \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} g(x) = A \pm B$
● $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\rm{[}}f(x).g(x){\rm{]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x).\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = A.B$
● $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\rm{[}}\frac{{f(x)}}{{g(x)}}{\rm{]}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x)}} = \frac{A}{B},(B \ne 0)$
● $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt[n]{{f(x)}}. = \sqrt[n]{{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)}} = \sqrt[n]{A},(\matrix{ {\sqrt[n]{A}}&{xác}&{định)} }$
● $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\rm{[}}f{(x)^{g(x)}}{\rm{]}} = {A^B},(B > 0)$
Có thể bạn quan tâm
ღ Lưu ý: Mình chỉ sử dụng Fanpage Theza2 để bình luận. Mọi nick khác đều không phải mình.
Mình hiện tại có những việc riêng phải bận cho cuộc sống của mình, sẽ không còn thường xuyên hồi đáp các bình luận, mong được lượng thứ..

...
1/1/42/4465