Áp dụng công thức Lepnit cho đạo hàm cấp cao
✪Công thức Lepnit :
Nếu $h(x),g(x)$ là các hàm khả vi n lần thì
$${{\rm{[}}h(x).g(x){\rm{]}}^{(n)}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} .{h^{(k)}}(x).{g^{(n - k)}}(x)$$
✪Các bước làm bài :
●Bước 1 :Xác định 2 hàm tích $h(x),g(x)$.
●Bước 2 :Lần lượt xác định đạo hàm cấp n của $h(x),g(x)$
●Bước 3 :Thế vào công thức để tính toán và kết luận
✪Ví dụ 1 :
Tính đạo hàm cấp 100 của hàm số sau :$$y = (x + 1){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}$$
(Bài 4-Đề 1-Giải tích I giữa kì BKHN-K58)
Bài làm:
● Đặt :
$h(x)=x+1$
$g(x)=sinx$
Suy ra: $y=h(x).g(x)$
●Ta có:
_ ${\rm{h(x) = x + 1}}$
$ \Rightarrow {\rm{h'(x) = 1}}$
$ \Rightarrow {{\rm{h}}^{(n)}}(x) = 0$ Với $\forall n \ge 2$
_ ${\rm{g(x) = sinx}}$
$ \Rightarrow g'(x) = c{\rm{osx = sin(x + }}\frac{\pi }{2})$
$ \Rightarrow g''(x) = - \sin x{\rm{ = sin(x + 2}}{\rm{.}}\frac{\pi }{2})$
$ \Rightarrow {g^{(n)}}(x) = {\rm{sin(x + n}}{\rm{.}}\frac{\pi }{2})$
●Với $y=h(x).g(x)$
Khi đó: $$\matrix{
{{y^{(100)}}}& = &{\sum\limits_{k = 0}^{100} {C_{100}^k.{h^{(k)}}(x).{g^{(100 - k)}}(x)} }\\
{}& = &{C_{100}^0.h(x).{g^{(100)}}(x) + C_{100}^1.h'(x).{g^{(99)}}(x)}\\
{}& = &{(x + 1)\sin (x + 100.\frac{\pi }{2}) + 100.\sin (x + 99.\frac{\pi }{2})}\\
{}& = &{(x + 1)\sin x - 100\cos x}
}$$
●Vậy ${y^{(100)}} = (x + 1)\sin x - 100\cos x$
✪Ví dụ 2 :
Tính đạo hàm cấp n của hàm số sau :$$y = x.\ln x$$
Bài làm:
● Đặt :
$h(x)=x$
$g(x)=lnx$
Suy ra: $y=h(x).g(x)$
●Ta có:
_ ${\rm{h(x) = x }}$
$ \Rightarrow {\rm{h'(x) = 1}}$
$ \Rightarrow {{\rm{h}}^{(n)}}(x) = 0$ Với $\forall n \ge 2$
_ ${\rm{g(x) = lnx}}$
$ \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{x} = {x^{ - 1}}$
$ \Rightarrow g''(x) = - x^{ - 2}$
$ \Rightarrow g'''(x) = 2 x^{ - 3}$
$ \Rightarrow {g^{(n)}}(x) = {( - 1)^{n - 1}}.(n - 1)!.{x^{ - n}} = \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}.(n - 1)!}}{{{x^n}}}$
●Với $y=h(x).g(x)$
Khi đó:
_Với $n=1$: $${y'} = \ln x + 1$$
_Với $n \ge 2$:
$$\matrix{
{{y^{(n)}}}& = &{\sum\limits_{k = 0}^{n} {C_{n}^k.{h^{(k)}}(x).{g^{(n - k)}}(x)} }\\
{}& = &{C_{n}^0.h(x).{g^{(n)}}(x) + C_{n}^1.h'(x).{g^{(n-1)}}(x)}\\
{}& = &{x.\frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}.(n - 1)!}}{{{x^n}}} + n.\frac{{{{( - 1)}^{n - 2}}.(n - 2)!}}{{{x^{n - 1}}}}}\\
{}& = &{\frac{{{{( - 1)}^{n - 2}}.(n - 2)!}}{{{x^{n - 1}}}}}
}$$
✪Ví dụ 3 :
Tính đạo hàm cấp n của hàm số sau :$$y=\sin {\rm{(x)}}.{e^x}$$
Bài làm:
● Đặt :
$h(x)=sinx$
$g(x)={e^x}$
Suy ra: $y=h(x).g(x)$
●Ta có:
●Với $y=h(x).g(x)$
_ ${\rm{h(x) = sinx}}$
$ \Rightarrow h'(x) = c{\rm{osx = sin(x + }}\frac{\pi }{2})$
$ \Rightarrow h''(x) = - \sin x{\rm{ = sin(x + 2}}{\rm{.}}\frac{\pi }{2})$
$ \Rightarrow {h^{(n)}}(x) = {\rm{sin(x + n}}{\rm{.}}\frac{\pi }{2})$
_ $\rm{g(x) = {e^x}}$
$ \Rightarrow {{\rm{g}}^{(n)}}(x) = {e^x}$ Với $\forall n$
●Vậy ${y^{(n)}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k\sin (x + k.\frac{\pi }{2}).{e^x}}$
Có thể bạn quan tâm
Copyright : Theza
ღ Lưu ý: Mình chỉ sử dụng Fanpage Theza2 để bình luận. Mọi nick khác đều không phải mình.
Mình hiện tại có những việc riêng phải bận cho cuộc sống của mình, sẽ không còn thường xuyên hồi đáp các bình luận, mong được lượng thứ..
Liên kết hay đáng ghe thăm:
HocTapHay.com:
Tổng hợp kiến thức, bải giảng các môn học Trung học cơ sở, Trung học phổ thông,... khá đầy đủ và chi tiết.
...
1/1/17/80100
Trang chủ
Liên hệ
Cài đặt