Ứng dụng vi phân tính gần đúng
✪Công thức:(Cái này là khai triển Taylor đến cấp 1).
$$\matrix{
{f(x;y;z;...) \approx f({x_0};{y_0};{z_0};...)}& + &{(x - {x_0}).f{'_x}({x_0};{y_0};{z_0};...)}\\
{}& + &{(y - {y_0}).f{'_y}({x_0};{y_0};{z_0};...)}\\
{}& + &{(z - {z_0}).f{'_z}({x_0};{y_0};{z_0};...)}\\
{}& + &{...}
}$$
✪Quy tắc:
_Chọn hàm $f(x;y;z;...)$ phù hợp (Chỗ có số xấu thì đặt là biến, bao nhiêu số xấu thì bấy nhiêu biến trong hàm)
_Chọn ${x_0};{y_0};{z_0};...$ là những số đẹp sao cho $f({x_0};{y_0};{z_0};...)$ có giá trị đẹp và $(x - {x_0}),(y - {y_0}),(z - {z_0}),...$ có giá trị đủ nhỏ.
✪Các bước làm bài :
●Bước 1 :Chọn hàm $f(x;y;z;...)$
●Bước 2 :Tìm $f{'_x},f{'_y},f{'_z},...$
●Bước 3 :Chọn ${x_0};{y_0};{z_0};...$ phù hợp
tính $f,f{'_x},f{'_y},f{'_z},...$ tại ${x_0};{y_0};{z_0};...$
●Bước 4 :Áp dụng công thức và tính ra kết quả.
✪Ví dụ 1 :
Sử dụng vi phân toàn phần tính gần đúng giá trị:$$A = {e^{0,01}}$$
(Bài 5-Đề 1-Giải tích I giữa kì BKHN-K59)
Bài làm:
● Xét hàm: $f(x) = {e^{x}}$
(Có 1 số xấu là 0,01 nên ta chọn hàm có 1 biến x tướng ứng với vị trí của 0,01)
●Khi đó ta có:$$f{'_x} = {e^x}$$
●Tại $x_0=0$ :
$$f(0) = 1;f{'_x}(0) = 1$$
●Ta có:$$f(x) \approx f({x_0}) + (x - {x_0}).f{'_x}({x_0})$$
Suy ra:
$$\matrix{
{f(0,01)}& \approx &{f(0) + (0,01 - 0).f{'_x}(0)}\\
{}& = &{1 + (0,01).1}\\
{}& = &{1,01}
}$$
Vậy $A \approx 1,01$
✪Ví dụ 2 :
Sử dụng vi phân toàn phần tính gần đúng:$$A = \sqrt[3]{{2.{{(2,98)}^3} - 3.{{(4,01)}^2} + 2}}$$
(Bài 6-Đề 7-Giải tích I cuối kì BKHN-K59)
Bài làm:
● Xét hàm: $f(x;y) = \sqrt[3]{{2.{x^3} - 3.{y^2} + 2}}$
(Có 2 số xấu là 2,98 và 4,01 nên ta chọn hàm có 2 biến x,y tướng ứng với vị trí 2 số xấu)
●Khi đó ta có:$$\matrix{
f{'_x} = \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt[3]{{{{(2.{x^3} - 3.{y^2} + 2)}^2}}}}}\\
f{'_y} = \frac{{ - 2y}}{{\sqrt[3]{{{{(2.{x^3} - 3.{y^2} + 2)}^2}}}}}
}$$
●Tại $x_0=3$, $y_0=4$ :
$$f(3;4) = 2;f{'_x}(3;4) = \frac{9}{2};f{'_y}(3;4) = - 2$$
●Ta có:$$\matrix{
{f(x;y) \approx f(x_0;y_0)}& + &{(x - {x_0}).f{'_x}({x_0};{y_0})}\\
{}& + &{(y - {y_0}).f{'_y}({x_0};{y_0})}
}$$
Suy ra:
$$\matrix{
{f(2,98;4,01)}& \approx &{f(3;4)}& + &{(2,98 - 3).f{'_x}(3;4)}\\
{}&{}&{}& + &{(4,01 - 4).f{'_y}(3;4)}\\
{}& = &2& - &{(0,02).\frac{9}{2} - (0,01).2}\\
{}& = &{}&{1,89}&{}
}$$
Vậy $A \approx 1,89$
✪Ví dụ 3 :
Sử dụng vi phân tính gần đúng:$A = \sqrt 2 $
Bài làm:
(Đề không có số xấu nào thì ta phải tự tạo số xấu)
● Ta có $\sqrt 2 = 2\sqrt {\frac{1}{2}} = 2\sqrt {1-0,5} $
● Xét hàm: $f(x) = 2\sqrt {1-x}$
(Có 1 số xấu là 0,5 nên ta chọn hàm có 1 biến x tướng ứng với vị trí số xấu)
●Khi đó ta có:$$f{'_x} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {1 - x} }}$$
●Tại $x_0=0$ :
$$f(0) = 2;f{'_x}(0) = - 1$$
●Ta có:$$f(x) \approx f({x_0}) + (x - {x_0}).f{'_x}({x_0})$$
Suy ra:
$$\matrix{
{f(0,5)}& \approx &{f(0) + (0,5 - 0).f{'_x}(0)}\\
{}& = &{2 + (0,5).(-1)}\\
{}& = &{1,5}
}$$
Vậy $A \approx 1,5$
✪Ví dụ 4 :
Sử dụng vi phân tính gần đúng:$A = \sin 29 $
Bài làm:
● Đổi độ về radian: $A = \sin (\frac{{29\pi }}{{180}}) $
● Xét hàm: $f(x) = \sin (x)$
(Có 1 số xấu là $\frac{{29\pi }}{{180}}$ nên ta chọn hàm có 1 biến x tướng ứng với vị trí số xấu)
●Khi đó ta có:$$f{'_x} = \cos (x)$$
●Tại $x_0=\frac{{30\pi }}{{180}}$ :
$$f(\frac{{30\pi }}{{180}}) = \frac{1}{2};f{'_x}(\frac{{30\pi }}{{180}}) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$$
●Ta có:$$f(x) \approx f({x_0}) + (x - {x_0}).f{'_x}({x_0})$$
Suy ra:
$$\matrix{
{f(\frac{{29 \pi }}{{180}})}& \approx &{f(\frac{{30\pi }}{{180}}) + (\frac{{29\pi }}{{180}}-\frac{{30 \pi }}{{180}}).f{'_x}(\frac{{30\pi }}{{180}})}\\
{}& = &{\frac{1}{2} - \frac{{\pi }}{{180}}.(\frac{{\sqrt 3 }}{2})}\\
{}& = &{\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt 3 }\pi}{360}}
{}& \approx &{0,48}
}$$
Vậy $A \approx 0,48$
Có thể bạn quan tâm
Copyright : Theza
ღ Lưu ý: Mình chỉ sử dụng Fanpage Theza2 để bình luận. Mọi nick khác đều không phải mình.
Mình hiện tại có những việc riêng phải bận cho cuộc sống của mình, sẽ không còn thường xuyên hồi đáp các bình luận, mong được lượng thứ..
Liên kết hay đáng ghe thăm:
HocTapHay.com:
Tổng hợp kiến thức, bải giảng các môn học Trung học cơ sở, Trung học phổ thông,... khá đầy đủ và chi tiết.
...
1/1/10/71272
Trang chủ
Liên hệ
Cài đặt