Tính các đạo hàm riêng hàm nhiều biến

...Date : 08-05-2024...

	◕ Thông báo:Chuyển đổi trang WEB về địa chỉ mới https://theza2.blogspot.com (Cải thiện tốc độ truy cập, giao diện thân thiện hơn) Kính mời mọi người chuyển qua nhà mới ◕ Lời nhắn: ⊱ Mình học Bách Khoa nên ai đó ghét Bách Khoa thì có thể lặng lẽ đi ra ⊱ Mình là dân Thanh Hóa nên ai đó ghét Thanh Hóa cũng có thể lặng lẽ rời đi ⊱ Mình học cơ khí, trang này chỉ làm ra theo sở thích nên nếu thấy không hài lòng có thể nhẹ nhàng tắt trang ⊱ Mình hiện tại có những việc riêng phải bận cho cuộc sống của mình, sẽ không còn thường xuyên hồi đáp các bình luận, mong được lượng thứ..
	◕ Dịch vụ: Nhận thiết kế Form mẫu Excel, Google Sheet: ⊱ Hỗ trợ quản lý, chiết xuất dữ liệu; Tạo bảng báo cáo, thống kê nhanh; ⊱ Tạo hệ thống thiết lập và quản lý tiến độ công việc một cách trực quan; Tạo bảng nhập liệu, tính toán hỗ trợ công việc.. ◕ Dùng thử: Chương trình phần mềm xếp thép tối ưu ⊱ Đây là chương trình mình viết ra để hỗ trợ công việc tính toán đầu vào vật tư thép hình dạng thanh (L, H, U, ...) (Nhắn tin trực tiếp tới fanpage Theza2 để trao đổi)

Học Tập > Giải tích I

Đạo hàm riêng

✪Đạo hàm theo định nghĩa :
●1 biến :$$f'(x_0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$$ ●2 biến :$$f'_x(x_0;y_0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x;y_0) - f({x_0;y_0})}}{{x - {x_0}}}\\ f'_y(x_0;y_0) = \mathop {\lim }\limits_{y \to {y_0}} \frac{{f(x_0;y) - f({x_0;y_0})}}{{y - {y_0}}}$$

✪Các công thức cần biết : $$\matrix{ du(x;y;z) = u'_xdx + u'_ydy + u'_zdz\\ d^2u(x;y) = u''_{xx}d^2x + u''_{xy}dxdy + u''_{yy}d^2y\\ \frac{{\partial z}}{{\partial x}} = z'_x; \frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {x^2}}} = z''_{xx} }$$ ✪Các bước làm bài :
  ●Bước 1 :Tìm các đạo hàm riêng cần thiết theo công thức đạo hàm.
  ●Bước 2 :Tính giá trị các đạo hàm cần thiết tại điểm đề cho.
    (Thay điểm đã cho vào đạo hàm tìm được ở bước 1 để tính. Nếu thay vào không tồn tại thì dùng định nghĩa để tính đạo hàm đó.)
  ●Bước 3 :Kết luận.

✪Ví dụ 1 :
Tính các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số $u = {e^{\frac{1}{{{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}}}}}$ tại (1;-1;1).
(Bài 6-Đề 1-Giải tích I cuối kì BKHN-K59)
Bài làm:
● Ta có : $$\matrix{ u{'_x} = {e^{\frac{1}{{{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}}}}}.\frac{{ - 2x}}{{{{({x^2} + 2{y^2} + 3{z^2})}^2}}}\\ u{'_y} = {e^{\frac{1}{{{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}}}}}.\frac{{ - 4y}}{{{{({x^2} + 2{y^2} + 3{z^2})}^2}}}\\ u{'_z} = {e^{\frac{1}{{{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}}}}}.\frac{{ - 6z}}{{{{({x^2} + 2{y^2} + 3{z^2})}^2}}} }$$
● Khi đó tại $x = 1$, $y = -1$, $z = 1$ ta có :
$$\matrix{ u{'_x} = \frac{{ - 2{e^{\frac{1}{6}}}}}{{36}}\\ u{'_y} = \frac{{ 4{e^{\frac{1}{6}}}}}{{36}}\\ u{'_z} = \frac{{ - 6{e^{\frac{1}{6}}}}}{{36}} }$$
(Đề yêu cầu tính đạo hàm riêng cấp 1 nên đến đây là xong không cần kết luận thêm gì)

✪Ví dụ 2 :
Cho $u = {x^{{y^z}}}$. Tính $du(2;1;3)$
(Bài 6-Đề 3-Giải tích I cuối kì BKHN-K59)
Bài làm:
  ● Ta có : $$\matrix{ u{'_x} = {y^z}{x^{{y^z} - 1}}\\ u{'_y} = z.{y^{z - 1}}.{x^{{y^z}}}\ln x\\ u{'_z} = {y^z}.{x^{{y^z}}}\ln x.\ln y }$$
  ● Khi đó tại $x = 2$, $y = 1$, $z = 3$ ta có :
$$\matrix{ u{'_x} = 2\\ u{'_y} = 6\ln 2\\ u{'_z} = 0 }$$   ● Vậy: $$du(2;1;3) = u{'_x}dx + u{'_y}dy + u{'_z}dz = 2dx + 6\ln 2dy + 0dz$$

✪Ví dụ 3 :
Cho hàm số $z=z(x;y)$ xác định bởi phương trình:${x^3} + 2x{y^2} + 2yz + {z^3} = 2$. Tính : $\frac{{\partial z}}{{\partial x}}(1;0),\frac{{\partial z}}{{\partial y}}(1;0).$
(Bài 7-Đề 5-Giải tích I cuối kì BKHN-K59)
Bài làm:
  ● Ta có:
_Đạo hàm cả 2 vế theo x :
(Coi x là biến, y là tham số, z là hàm chứa biến)
$$\matrix{ {\rm{3}}{{\rm{x}}^2} + 2{y^2} + 2y.z{'_x} + 3{z^2}.z{'_x} = 0\\ ⇒ z{'_x} = \frac{{{\rm{ - 3}}{{\rm{x}}^2} - 2{y^2}}}{{2y + 3{z^2}}} }$$
_Đạo hàm cả 2 vế theo y :
(Coi y là biến, x là tham số, z là hàm chứa biến)
$$\matrix{ 4xy + 2z + 2y.z{'_y} + 3{z^2}.z{'_y} = 0\\ ⇒ z{'_y} = \frac{{ - 4xy - 2z}}{{2y + 3{z^2}}} }$$
  ● Khi đó tại $x=1$, $y=0$ Suy ra $z=1$
      Vậy :
$$\matrix{ \frac{{\partial z}}{{\partial x}}(1;0) = z{'_x}(1;0) = - 1\\ \frac{{\partial z}}{{\partial y}}(1;0) = z{'_y}(1;0) = \frac{{ - 2}}{3} }$$

✪Ví dụ 4 :
Cho hàm số $f(x;y) = \sqrt[3]{{{x^3} - 2{y^3}}}$. Tính các đạo hàm riêng $\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(0;0),\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(0;0),\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}(0;0).$
(Bài 8-Đề 7-Giải tích I cuối kì BKHN-K59)
Bài làm:
  ● Với $(x;y)≠(0;0)$ ta có:
(Cần tìm hàm $f{'_x}$ để tính $f'{'_{xx}}$)
$$f{'_x} = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt[3]{{{{({x^3} - 2{y^3})}^2}}}}}$$ (Ta thấy với $x=0$, $y=0$ thì $f{'_x}$ vừa tính ở trên không xác định nên để tính $f{'_x}(0;0)$ ta phải dùng định nghĩa. Tương tự với $f{'_y}$ và $f''_{xx}$)
  ● Khi đó tại $x=0$, $y=0$ : $$\matrix{ f{'_x}(0;0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x;0) - f(0;0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1\\ f{'_y}(0;0) = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{f(0;y) - f(0;0)}}{{y - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{\sqrt[3]{2}.y}}{y} = \sqrt[3]{2}\\ f''_{xx}(0;0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f{'_x}(x;0) - f{'_x}(0;0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - 1}}{x} = 0 }$$
  ● Vậy :

$$\matrix{ \frac{{\partial f}}{{\partial x}}(0;0) = f{'_x}(0;0) = 1\\ \frac{{\partial f}}{{\partial y}}(0;0) = f{'_y}(0;0) = \sqrt[3]{2}\\ \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}(0;0) = f''_{xx}(0;0) = 0 }$$
(Bài này phải dùng định nghĩa để tính các đạo hàm tại (0;0). Vì nếu tính đạo hàm bằng công thức bình thường thì (0;0) không thỏa mãn điều kiện xác định các đạo hàm đó).