Xét tính khả vi của hàm số
✪ Định nghĩa:
●Điều kiện cần:
Hàm số $f(x)$ khả vi tại $x_0$ khi nó liên tục $x_0$
●Điều kiện đủ:
Hàm số $f(x)$ khả vi tại $x_0$ khi $${f'_ - }({x_0}) = {f'_ + }({x_0})$$
Hay $$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$$
✪Các bước làm bài :
●Bước 1 :Nêu tập xác định (TXĐ).
●Bước 2 :Tính đạo hàm trái và phải
_Nếu đề yêu cầu tại điểm gì thì xét tính khả vi tại điểm
_Nếu đề không yêu cầu tại 1 điểm cụ thể thì xét tính khả vi trên toàn bộ tập xác định
(Sử dụng điều kiện cần khi cần thiết)
●Bước 3 :Kết luận
✪Ví dụ 1 :
Cho hàm số :
$$f(x) = \left\{ {\matrix{
{x\arctan \frac{1}{{{x^2}}}}&,&{x \ne 0}\\
0&,&{x = 0}
}} \right.$$
Tính $f'(x)$
(Bài 1-ý a-Đề 1-Giải tích I BKHN-K58)
Bài làm:
● TXĐ: $D = R $
(Đề không nói cụ thể điểm nào nên ta xét tính khả vi trên toàn bộ tập xác định. Có 2 trường hợp là $x=0$ và $x \ne 0$)
●Tại $x \ne 0$ :
$$f{'_ - }(x) = f{'_ + }(x) = (x.\arctan \frac{1}{{{x^2}}})' = \frac{{ - 2{x^2}}}{{{x^4} + 1}} + \arctan \frac{1}{{{x^2}}}$$
●Tại $x = 0$ :
$$f{'_ - }(0) = f{'_ + }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (\arctan \frac{1}{{{x^2}}}) = \frac{\pi }{2}$$
● Vậy:
$$f'(x) = \left\{ {\matrix{
{\frac{{ - 2{x^2}}}{{{x^4} + 1}} + \arctan \frac{1}{{{x^2}}}}&,&{x \ne 0}\\
{\frac{\pi }{2}}&,&{x = 0}
}} \right.$$
✪Ví dụ 2 :
Tìm $a,b$ hàm số sau : $f(x) = \left\{ {\matrix{
{x(x - 1) + 1}&,&{x \ge 0}\\
{ax + b}&,&{x < 0}
}} \right.$
có đạo hàm tại $x=0$
(Bài 1-ý b-Đề 3-Giải tích I giữa kì BKHN-K58)
Bài làm:
● TXĐ: $D = R $
(Đề nói cụ thể tại điểm $x=0$ nên ta xét tính khả vi tại $x=0$)
●Ta có:
$$\left\{ {\matrix{
{f{'_ + }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x(x - 1) + 1 - 1}}{x} = - 1}\\
f{'_ - }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ax + b - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (a + \frac{{b - 1}}{x})
}} \right.$$
Suy ra $f(x) $ khả vi tại $x=0$ khi và chỉ khi:
$$\left\{ {\matrix{
{\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = f(0)}\\
f{'_\_}(0)=f{'_ +}(0)
}} \right.
\Leftrightarrow
\left\{ {\matrix{
{b=1}\\
a=-1
}} \right.
$$
●Vậy $a=-1,b=1$ là các giá trị cần tìm
✪Ví dụ 3 :
Cho hàm : $$f(x) = \left\{ {\matrix{
{\frac{{\ln (1 + x) - ax - b{x^2}}}{{{x^2}}}}&{,voi}&{x \in {\rm{[}} - 1; + \infty )\backslash {\rm{\{ }}0\} }\\
0&{,voi}&{x = 0}
}} \right.$$
Tìm a,b để $f(x)$ có đạo hàm tại x=0
Bài làm:
● TXĐ: $D = {\rm{[ - 1}}; + \infty )$
(Đề nói cụ thể tại điểm $x=0$ nên ta xét tính khả vi tại $x=0$)
●Ta có:
$$f{'_\_}(0) = f{'_ + }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\ln (1 + x) - ax - b{x^2}}}{{{x^3}}}$$
_Khi ${x \to 0}$ ta có: $$\ln (1 + x) \sim x - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3} + o({x^3})$$
_Suy ra $$f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 - a)x - (\frac{1}{2} + b){x^2} + \frac{{{x^3}}}{3} + o({x^3})}}{{{x^3}}}$$
+Với $a \ne 1$ hoặc $b \ne {\frac{-1}{2}}$
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 - a)x - (\frac{1}{2} + b){x^2} + \frac{{{x^3}}}{3} + o({x^3})}}{{{x^3}}} = \infty $$
Suy ra $f'(0)$ không tồn tại.
+Với $a = 1$ và $b = {\frac{-1}{2}}$
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 - a)x - (\frac{1}{2} + b){x^2} + \frac{{{x^3}}}{3} + o({x^3})}}{{{x^3}}} = \frac{1}{3}$$
Suy ra $f'(0) = \frac{1}{3}$
●Vậy $a=1,b=\frac{-1}{2}$ là các giá trị cần tìm
✪Ví dụ 4 :
Cho hàm : $$f(x) = |x + 1|{(x + a)^3}$$
Tìm a để $f(x)$ khả vi tại $x=-1$
Bài làm:
● TXĐ: $D = R$
(Đề nói cụ thể tại điểm $x=-1$ nên ta xét tính khả vi tại $x=-1$)
●Ta có:
$$\matrix{
\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{ - (x + 1){{(x + a)}^3}}}{{x + 1}} = - {(a - 1)^3}\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{(x + 1){{(x + a)}^3}}}{{x + 1}} = {(a - 1)^3}
}$$
Suy ra $f(x)$ khả vi tại $x=-1$ khi và chỉ khi:
$$ - {(a - 1)^3} = {(a - 1)^3} \Leftrightarrow a = 1$$
●Vậy $a=1$ là giá trị cần tìm.
✪Ví dụ 5 :
Xét tính khả vi của hàm số : $$f(x) = |cosx|$$
Bài làm:
● TXĐ: $D = R$
(Đề không nói cụ thể tại điểm nào cả, nên ta xét tính khả vi trên toàn bộ tập xác định, cụ thể là tại các điểm nghiệm $cosx=0$ và $cosx≠0$)
●Tại $x=x_0≠{\frac{\pi }{2} + k\pi }$:
$$ f{'_\_}(x_0) = f{'_ + }(x_0) =|\cos {x_0}{\rm{|'}}= \left[ {\matrix{
{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}{{\rm{x}}_0},}&{voi}&{{\rm{cosx < 0}}}\\
{ - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}{{\rm{x}}_0},}&{voi}&{{\rm{cosx > 0}}}
}} \right.$$
●Tại $x={\frac{\pi }{2} + 2k\pi }$:
$$\matrix{
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}^ - }} \frac{{f(x) - f(\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}}{{x - (\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}^ - }} \frac{{\cos x}}{{x - (\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}}\mathop = \limits^L \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}^ - }} \frac{{ - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{1} = - 1\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}^ + }} \frac{{f(x) - f(\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}}{{x - (\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}^ + }} \frac{{ - \cos x}}{{x - (\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}}\mathop = \limits^L \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2} + 2k\pi )}^ + }} \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{1} = 1
}$$
Suy ra $f(x)$ không khả vi tại $x={\frac{\pi }{2} + 2k\pi }$
●Tại $x={\frac{-\pi }{2} + 2k\pi }$:
$$\matrix{
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{{ - \pi }}{2} + 2k\pi )}^ - }} \frac{{f(x) - f(\frac{{ - \pi }}{2} + k\pi )}}{{x - (\frac{{ - \pi }}{2} + 2k\pi )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{{ - \pi }}{2} + 2k\pi )}^ - }} \frac{{ - \cos x}}{{x - (\frac{{ - \pi }}{2} + 2k\pi )}}\mathop = \limits^L \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{{ - \pi }}{2} + 2k\pi )}^ - }} \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{1} = 1\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{{ - \pi }}{2} + 2k\pi )}^ + }} \frac{{f(x) - f(\frac{{ - \pi }}{2} + k\pi )}}{{x - (\frac{{ - \pi }}{2} + 2k\pi )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{{ - \pi }}{2} + 2k\pi )}^ + }} \frac{{\cos x}}{{x - (\frac{{ - \pi }}{2} + 2k\pi )}}\mathop = \limits^L \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{{ - \pi }}{2} + 2k\pi )}^ + }} \frac{{ - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{1} = - 1
}$$
Suy ra $f(x)$ không khả vi tại $x={\frac{-\pi }{2} + 2k\pi }$
Có thể bạn quan tâm
Copyright : Theza
ღ Lưu ý: Mình chỉ sử dụng Fanpage Theza2 để bình luận. Mọi nick khác đều không phải mình.
Mình hiện tại có những việc riêng phải bận cho cuộc sống của mình, sẽ không còn thường xuyên hồi đáp các bình luận, mong được lượng thứ..
Liên kết hay đáng ghe thăm:
HocTapHay.com:
Tổng hợp kiến thức, bải giảng các môn học Trung học cơ sở, Trung học phổ thông,... khá đầy đủ và chi tiết.
...
1/3/104/165060
Trang chủ
Liên hệ
Cài đặt