Hàm ngược

...Date : 21-11-2024...

	◕ Thông báo:Chuyển đổi trang WEB về địa chỉ mới https://theza2.blogspot.com (Cải thiện tốc độ truy cập, giao diện thân thiện hơn) Kính mời mọi người chuyển qua nhà mới ◕ Lời nhắn: ⊱ Mình học Bách Khoa nên ai đó ghét Bách Khoa thì có thể lặng lẽ đi ra ⊱ Mình là dân Thanh Hóa nên ai đó ghét Thanh Hóa cũng có thể lặng lẽ rời đi ⊱ Mình học cơ khí, trang này chỉ làm ra theo sở thích nên nếu thấy không hài lòng có thể nhẹ nhàng tắt trang ⊱ Mình hiện tại có những việc riêng phải bận cho cuộc sống của mình, sẽ không còn thường xuyên hồi đáp các bình luận, mong được lượng thứ..
	◕ Dịch vụ: Nhận thiết kế Form mẫu Excel, Google Sheet: ⊱ Hỗ trợ quản lý, chiết xuất dữ liệu; Tạo bảng báo cáo, thống kê nhanh; ⊱ Tạo hệ thống thiết lập và quản lý tiến độ công việc một cách trực quan; Tạo bảng nhập liệu, tính toán hỗ trợ công việc.. ◕ Dùng thử: Chương trình phần mềm xếp thép tối ưu ⊱ Đây là chương trình mình viết ra để hỗ trợ công việc tính toán đầu vào vật tư thép hình dạng thanh (L, H, U, ...) (Nhắn tin trực tiếp tới fanpage Theza2 để trao đổi)

Học Tập > Giải tích I

Hàm ngược $f^{-1}(x)$

✪ Định nghĩa :
Hàm $f(x)$ khả nghịch khi và chỉ khi phương trình $f(x)=y$ luôn có nghiệm duy nhất (Với mọi $y$ thuộc tập giá trị)
(Nói cách khác $f(x)$ khả nghịch khi là 1 song ánh)
✪ Các công thức cần nhớ:
_Nếu $g(x)=f^{-1}(x)$ là làm hàm ngược của $f(x)$, ta có:    $$f(a) = b \Leftrightarrow g(b) = a$$ _Và nếu hàm $f(x)$ và $g(x)$ khả vi, ta có:    $$f'(a).g'(b) = 1$$ ✪ Các bước làm bài:
  ●Nếu đề yêu cầu chứng minh hay xét tính khả nghịch của $f(x)$ thì khảo sát hàm $y=f(x)$.
  Thỏa mãn định nghĩa thì $f(x)$ khả nghịch.
  ●Nếu đề yêu cầu tìm hàm nghịch của $f(x)$ thì ta biến đổi hàm $y=f(x)$ về dạng $x=g(y)$. Khi đó $y=g(x)$ là hàm cần tìm.
  ●Cố gắng tận dụng các công thức . Gook luck!

✪Ví dụ 1 :
Chứng minh rằng hàm số : $f(x)=ln(x^2+x)+2x+2$ có hàm ngược $g(x)=f^{-1}(x)$.
Tính $g'(2)$. (Bài 8-Đề 5-Giải tích I cuối kì BKHN-K59)
Bài làm:
  ● Xét hàm $y=f(x)$   Ta có: $$y' = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} + 2 = \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{{x^2} + 1}} + 1 > 0,(\forall x \in R)$$   $ \Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $R$ Mặt khác : $$\matrix{ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\ln ({x^2} + 1) + 2x + 2) = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\ln ({x^2} + 1) + 2x + 2) = + \infty }$$   Suy ra phương trình $f(x)=y$ luôn có nghiệm duy nhất (Với $\forall y \in R$)   Vậy $f(X)$ có hàm ngược $g(x)=f^-1(x)$
  ●Tính $g'(2)$:
  (Để tính $g'(2)$ ta dùng công thức $f'(a).g'(b) = 1$. Ở đây biết được b=2 rồi ta cần biết a. Và a chính là nghiệm của phương trình $f(x)=b$ hay $f(x)=2$)
  _Xét phương trình $$\matrix{ {}&{f(x)}& = &2\\ { \Leftrightarrow }&{\ln ({x^2} + 1) + 2x + 2}& = &2\\ { \Leftrightarrow }&x& = &0 }$$
  Suy ra $f(0)=2$
  Khi đó : $f'(0)=y'(0)=2$
  Vậy $$g'(2) = \frac{1}{{f'(0)}} = \frac{1}{2}$$