Ring ring



...Date : 20-01-2021...
Hàm ngược $f^{-1}(x)$
✪ Định nghĩa :
Hàm $f(x)$ khả nghịch khi và chỉ khi phương trình $f(x)=y$ luôn có nghiệm duy nhất (Với mọi $y$ thuộc tập giá trị)
(Nói cách khác $f(x)$ khả nghịch khi là 1 song ánh)
✪ Các công thức cần nhớ:
 _Nếu $g(x)=f^{-1}(x)$ là làm hàm ngược của $f(x)$, ta có:    $$f(a) = b \Leftrightarrow g(b) = a$$  _Và nếu hàm $f(x)$ và $g(x)$ khả vi, ta có:    $$f'(a).g'(b) = 1$$ ✪ Các bước làm bài:
  ●Nếu đề yêu cầu chứng minh hay xét tính khả nghịch của $f(x)$ thì khảo sát hàm $y=f(x)$.
  Thỏa mãn định nghĩa thì $f(x)$ khả nghịch.
  ●Nếu đề yêu cầu tìm hàm nghịch của $f(x)$ thì ta biến đổi hàm $y=f(x)$ về dạng $x=g(y)$. Khi đó $y=g(x)$ là hàm cần tìm.
  ●Cố gắng tận dụng các công thức . Gook luck!

Ví dụ 1 :
Chứng minh rằng hàm số : $f(x)=ln(x^2+x)+2x+2$ có hàm ngược $g(x)=f^{-1}(x)$.
Tính $g'(2)$.
(Bài 8-Đề 5-Giải tích I cuối kì BKHN-K59)
Bài làm:
  ● Xét hàm $y=f(x)$   Ta có: $$y' = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} + 2 = \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{{x^2} + 1}} + 1 > 0,(\forall x \in R)$$   $ \Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $R$ Mặt khác : $$\matrix{ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (\ln ({x^2} + 1) + 2x + 2) = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\ln ({x^2} + 1) + 2x + 2) = + \infty }$$   Suy ra phương trình $f(x)=y$ luôn có nghiệm duy nhất (Với $\forall y \in R$)   Vậy $f(X)$ có hàm ngược $g(x)=f^-1(x)$
  ●Tính $g'(2)$:
  (Để tính $g'(2)$ ta dùng công thức $f'(a).g'(b) = 1$. Ở đây biết được b=2 rồi ta cần biết a. Và a chính là nghiệm của phương trình $f(x)=b$ hay $f(x)=2$)
  _Xét phương trình $$\matrix{ {}&{f(x)}& = &2\\ { \Leftrightarrow }&{\ln ({x^2} + 1) + 2x + 2}& = &2\\ { \Leftrightarrow }&x& = &0 }$$
  Suy ra $f(0)=2$
  Khi đó : $f'(0)=y'(0)=2$
  Vậy $$g'(2) = \frac{1}{{f'(0)}} = \frac{1}{2}$$
Có thể bạn quan tâm
ღ Lưu ý: Mình chỉ sử dụng Fanpage Theza2 để bình luận. Mọi nick khác đều không phải mình.
Mình hiện tại có những việc riêng phải bận cho cuộc sống của mình, sẽ không còn thường xuyên hồi đáp các bình luận, mong được lượng thứ..

...
1/4/197/4927