Tìm cực trị hàm 2 biến

...Date : 21-11-2024...

	◕ Thông báo:Chuyển đổi trang WEB về địa chỉ mới https://theza2.blogspot.com (Cải thiện tốc độ truy cập, giao diện thân thiện hơn) Kính mời mọi người chuyển qua nhà mới ◕ Lời nhắn: ⊱ Mình học Bách Khoa nên ai đó ghét Bách Khoa thì có thể lặng lẽ đi ra ⊱ Mình là dân Thanh Hóa nên ai đó ghét Thanh Hóa cũng có thể lặng lẽ rời đi ⊱ Mình học cơ khí, trang này chỉ làm ra theo sở thích nên nếu thấy không hài lòng có thể nhẹ nhàng tắt trang ⊱ Mình hiện tại có những việc riêng phải bận cho cuộc sống của mình, sẽ không còn thường xuyên hồi đáp các bình luận, mong được lượng thứ..
	◕ Dịch vụ: Nhận thiết kế Form mẫu Excel, Google Sheet: ⊱ Hỗ trợ quản lý, chiết xuất dữ liệu; Tạo bảng báo cáo, thống kê nhanh; ⊱ Tạo hệ thống thiết lập và quản lý tiến độ công việc một cách trực quan; Tạo bảng nhập liệu, tính toán hỗ trợ công việc.. ◕ Dùng thử: Chương trình phần mềm xếp thép tối ưu ⊱ Đây là chương trình mình viết ra để hỗ trợ công việc tính toán đầu vào vật tư thép hình dạng thanh (L, H, U, ...) (Nhắn tin trực tiếp tới fanpage Theza2 để trao đổi)

Học Tập > Giải tích I

Cực trị hàm 2 biến

✪ Định nghĩa :
${M_0}({x_0};{y_0})$ là điểm cực trị của hàm $z=f(x;y)$ Nếu với mọi điểm $M({x_0} + \Delta x;{y_0} + \Delta y)$ là lân cận của ${M_0}({x_0};{y_0})$ thì ta luôn có :
$\Delta f = f({x_0};{y_0}) - M({x_0} + \Delta x;{y_0} + \Delta y)$ không đổi dấu, Với : $$\left[ \matrix{ \Delta f \ge 0 \Rightarrow \matrix{ {{M_0}}&{là}&{điểm}&{cực}&{đại} }\\ \Delta f \le 0 \Rightarrow \matrix{ {{M_0}}&{là}&{điểm}&{cực}&{tiểu} } } \right.$$ (M là lân cận của ${M_0}$ khi $\Delta x$,$\Delta y$ khá nhỏ).
✪ Quy tắc tìm cực trị:
Giả sử hàm số $z=f(x;y)$ có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừng $(M_0(x_0;y_0)$
Đặt $\matrix{ {A = z''_{xx}}&;&{B = z''_{xy}}&;&{C = z''_{yy}} }$
Khi đó: $$\left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ {B^2} - AC < 0\\ \matrix{ {A > 0}&{({\rm{or}}}&{C > 0)} } } \right. \Rightarrow \matrix{ {{M_0}}&{là}&{điểm}&{cực}&{tiểu} }\\ \left\{ \matrix{ {B^2} - AC < 0\\ \matrix{ {A < 0}&{({\rm{or}}}&{C < 0)} } } \right. \Rightarrow \matrix{ {{M_0}}&{là}&{điểm}&{cực}&{đại} }\\ {B^2} - AC > 0 \Rightarrow \matrix{ {Hàm}&{không}&{đạt}&{cực}&{trị}&{tại}&{{M_0}} }\\ {B^2} - AC = 0 \Rightarrow \matrix{ {Dùng}&{định}&{nghĩa}&{để}&{xác}&{định} } } \right.$$ ✪ Các bước làm bài :
●Bước 1 :Giải hệ phương trình
$$\left\{ \matrix{ z{'_x} = 0\\ z{'_y} = 0 } \right. \Rightarrow \matrix{ {Tìm}&{được}&{nghiệm}&{({x_1};{y_1})}&{({x_2};{y_2})}&{...}&{({x_n};{y_n})} }$$ ●Bước 2 :Tìm các đạo hàm cấp 2. $$\left\{ \matrix{ A = z'{'_{xx}}\\ B = z'{'_{xy}}\\ C = z'{'_{yy}} } \right.$$ ●Bước 3 :Xét các điểm nghiệm $({x_1};{y_1})$, $({x_2};{y_2})$,...,$({x_n};{y_n})$ để tính A, B, C và xem nó thuộc trường hợp nào để tính và kết luận

✪Ví dụ 1 :
Tìm cực trị hàm số $z = 2{x^4} + {y^4} - 4{x^2} + 2{y^2}$
(Bài 7-Đề 1-Giải tích I cuối kì BKHN-K59)
Bài làm:
  ● Ta có : $$\left\{ \matrix{ z{'_x} = 8{x^3} - 8x = 0\\ z{'_y} = 4{y^3} + 4y = 0 } \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ x = - 1\\ y = 0 } \right.\\ \left\{ \matrix{ x = 0\\ y = 0 } \right.\\ \left\{ \matrix{ x = 1\\ y = 0 } \right. } \right.$$ Suy ra có 3 điểm nghi ngờ ${M_1}( - 1;0),{M_2}(0;0),{M_3}(1;0)$
  ● Đặt :
$$\matrix{ A = z'{'_{xx}} = 24{x^2} - 8\\ B = z'{'_{xy}} = 0\\ C = z'{'_{yy}} = 12{y^2} + 4 }$$
  ● Xét các điểm nghi ngờ
_Tại ${M_1}( - 1;0)$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = 16,}&{B = 0,}&{C = 4} }\\ \Rightarrow \left\{ \matrix{ {B^2} - AC = - 64 < 0\\ A > 0 } \right. }$$ Suy ra hàm đạt cực tiểu tại ${{M_1}( - 1;0) \Rightarrow {z_{CT}} = z( - 1;0) = - 2}$
_Tại ${M_2}(0;0)$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = - 8,}&{B = 0,}&{C = 4} }\\ \Rightarrow {B^2} - AC = 32 > 0 }$$ Suy ra hàm không đạt cực trị tại ${M_2}(0;0)$
_Tại ${M_3}(1;0)$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = 16,}&{B = 0,}&{C = 4} }\\ \Rightarrow \left\{ \matrix{ {B^2} - AC = - 64 < 0\\ A > 0 } \right. }$$ Suy ra hàm đạt cực tiểu tại ${{M_3}(1;0) \Rightarrow {z_{CT}} = z(1;0) = - 2}$

✪Ví dụ 2 :
Tìm cực trị hàm số $$z = 2{x^2} + 3{y^2} - {e^{ - ({x^2} + {y^2})}}$$ (Bài 7-Đề 3-Giải tích I cuối kì BKHN-K59)
Bài làm:
  ● Ta có : $$\left\{ \matrix{ z{'_x} = 4x + 2x{e^{ - ({x^2} + {y^2})}} = 0\\ z{'_y} = 6y + 2y{e^{ - ({x^2} + {y^2})}} = 0 } \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 0\\ y = 0 } \right.$$ Suy ra có 1 điểm nghi ngờ ${M_1}(0;0)$
  ● Đặt :
$$\left\{ \matrix{ A = z''_{xx} = 4 + 2{e^{ - ({x^2} + {y^2})}} - 4{x^2}{e^{ - ({x^2} + {y^2})}}\\ B = z''_{xy} = - 4xy{e^{ - ({x^2} + {y^2})}}\\ C = z''_{yy} = 6 + 2{e^{ - ({x^2} + {y^2})}} - 4{y^2}{e^{ - ({x^2} + {y^2})}} } \right.$$
  ● Xét các điểm nghi ngờ
_Tại ${M_1}(0;0)$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = 6,}&{B = 0,}&{C = 8} }\\ \Rightarrow \left\{ \matrix{ {B^2} - AC = - 48 < 0\\ A > 0 } \right. }$$ Suy ra hàm đạt cực tiểu tại ${{M_1}(0;0) \Rightarrow {z_{CT}} = z(0;0) = - 1}$

✪Ví dụ 3 :
Tìm cực trị hàm số $$z = {x^3} - \frac{3}{2}{y^4} - 3x{y^2}$$ (Bài 10-Đề 6-Giải tích I cuối kì BKHN-K60)
Bài làm:
  ● Ta có : $$\left\{ \matrix{ z{'_x} = 3{x^2} - 3{y^2} = 0\\ z{'_y} = -6{y^3} - 6xy = 0 } \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ x = 0\\ y = 0 } \right.\\ \left\{ \matrix{ x = -1\\ y = 1 } \right.\\ \left\{ \matrix{ x = -1\\ y = - 1 } \right. } \right.$$ Suy ra có 3 điểm nghi ngờ ${M_1}(0;0)$, ${M_2}(-1;1)$, ${M_3}(-1;-1)$
  ● Đặt :
$$\left\{ \matrix{ A = z''_{xx} = 6x\\ B = z''_{xy} = -6y\\ C = z''_{yy} = -18{y^2} - 6x } \right.$$
  ● Xét các điểm nghi ngờ
_Tại ${M_1}(0;0)$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = 0,}&{B = 0,}&{C = 0} }\\ \Rightarrow {B^2} - AC = 0 }$$ Suy ra ta phải dùng định nghĩa
Giả sử $N(0 + \Delta x;0 + \Delta y)$ là lân cân của ${M_1}(0;0)$ Khi đó : $$\matrix{ \Delta z = z(0;0) - z(0 + \Delta x;0 + \Delta y) = z(0;0) - z(\Delta x;\Delta y)\\ \Leftrightarrow \Delta z = - {(\Delta x)^3} + \frac{3}{2}{(\Delta y)^4} + 3(\Delta x).{(\Delta y)^2}\\ \left\{ \matrix{ \Delta x > 0,\Delta y = 0\matrix{ :&{\Delta z < 0} }\\ \Delta x < 0,\Delta y = 0\matrix{ :&{\Delta z > 0} } } \right. }$$ $ \Rightarrow \Delta z$ đã đổi dấu trong lân cận ${M_1}(0;0)$
Suy ra hàm không đạt cực trị tại ${M_1}(0;0).$
_Tại ${M_2}(-1;1)$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = -6,}&{B = -6,}&{C = -12} }\\ \Rightarrow \left\{ \matrix{ {B^2} - AC = -36< 0\\ A<0 } \right. }$$ Suy ra hàm đạt cực đại tại ${M_2}(-1;1) \Rightarrow {z_{CT}} = z(-1;1) = \frac{1}{2}$
_Tại ${M_3}(-1;-1)$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = -6,}&{B = 6,}&{C = -12} }\\ \Rightarrow \left\{ \matrix{ {B^2} - AC = -36 < 0\\ A<0 } \right. }$$ Suy ra hàm đạt cực đại tại ${M_3}(-1;-1) \Rightarrow {z_{CT}} = z(-1;-1) = \frac{1}{2}$