Old school Easter eggs.



...Date : 20-01-2021...
Khai triển Taylor - Maclaurin
✪ Định lý:
●Khai triển Taylor cấp n:
_Nếu hàm số $y = f(x)$ có các đạo hàm $f'(x) , f''(x) , ... , f^{(n)}(x)$ liên tục tại điểm $x_0$ và có đạo hàm $f^{(n+1)}(x)$ trong lân cận của $x_0$ thì tại lân cận đó ta có công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange:
$$\matrix{ \matrix{ {f(x) = f({x_o}) + \frac{{f'({x_o})}}{{1!}}(x - {x_o}) + \frac{{f''({x_o})}}{{2!}}{{(x - {x_o})}^2} + ...}\\ { + \frac{{{f^{(n)}}({x_o})}}{{n!}}{{(x - {x_o})}^n} + \frac{{{f^{(n + 1)}}(c)}}{{n!}}{{(x - {x_o})}^{n + 1}}} }\\ \Leftrightarrow f(x) = {\rm{[}}\sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{f^{(k)}}({x_o})}}{{k!}}{{(x - {x_o})}^k}} {\rm{] + }}{{\rm{R}}_n} }$$
Với $R_n={ \dfrac{{{f}^{(n+1)}}(c)}{n!}}{{(x-{{x}_{o}})}^{n+1}}$ là số hạng dư Lagrange
($c$ ở giữa $x_0$ và $x$, $c = x_0+ a(x-x_0)$, $0 < a <1$ )
_Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm cấp $n$ tại $x_0$. Khi đó ta có công thức khai triển Taylor với phần dư Peano:
$${\matrix{ {f(x) = f({x_o}) + \frac{{f'({x_o})}}{{1!}}(x - {x_o}) + \frac{{f''({x_o})}}{{2!}}{{(x - {x_o})}^2} + ...}\\ { + \frac{{{f^{(n)}}({x_o})}}{{n!}}{{(x - {x_o})}^n} + o({{(x - {x_o})}^n})} }}$$
Với $o({{(x - {x_o})}^n})$ là phần dư Peano
●Khai triển Maclaurin:
Tại lân cận $x_0=0$ thì khai triển Taylor trở thành khai triển Maclaurin:
$$\matrix{ f(x) = f(0) + { \dfrac{f'(0)}{1!}}x + { \dfrac{f''(0)}{2!}}{{x}^{2}} + ... + { \dfrac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}}{{x}^{n}} + { \dfrac{{{f}^{(n+1)}}(\theta x)}{n!}}{{x}^{n+1}}, \\ \qquad (0<{\theta}<1) \\ } $$
✪ Một số công thức cần biết:
●Khai triển Maclaurin một số hàm cơ bản: $$\matrix{ {e^x} = 1 + x + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + ... + \frac{{{x^n}}}{{n!}} + o({x^n})\\ {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in }}x = x - \frac{{{x^3}}}{{3!}} + ... + \frac{{{{( - 1)}^k}.{x^{2k + 1}}}}{{(2k + 1)!}} + o({x^{2k + 1}})\\ {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inh }}x = x + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + ... + \frac{{{x^{2k + 1}}}}{{(2k + 1)!}} + o({x^{2k + 1}})\\ \arctan x = x - \frac{{{x^3}}}{3} + ... + \frac{{{{( - 1)}^k}.{x^{2k + 1}}}}{{(2k + 1)}} + o({x^{2k + 1}})\\ {\rm{cos }}x = 1 - \frac{{{x^2}}}{{2!}} + ... + \frac{{{{( - 1)}^k}.{x^{2k}}}}{{(2k)!}} + o({x^{2k}})\\ {\rm{cosh }}x = 1 + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + ... + \frac{{{x^{2k}}}}{{(2k)!}} + o({x^{2k}})\\ {(1 + x)^\alpha } = 1 + \frac{\alpha }{{1!}}x + \frac{{\alpha (\alpha - 1)}}{{2!}}{x^2} + ... + \frac{{\alpha (\alpha - 1)...(\alpha - n + 1)}}{{n!}}{x^n} + o({x^n})\\ \ln (1 + x) = x - \frac{{{x^2}}}{2} + ... + \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}{x^n}}}{n} + o({x^n}) }$$
Có thể bạn quan tâm
ღ Lưu ý: Mình chỉ sử dụng Fanpage Theza2 để bình luận. Mọi nick khác đều không phải mình.
Mình hiện tại có những việc riêng phải bận cho cuộc sống của mình, sẽ không còn thường xuyên hồi đáp các bình luận, mong được lượng thứ..

...
1/4/233/9590