The Soda Pop



...Date : 20-01-2021...
Một số phương pháp tính giới hạn (lim)
✪ Quy tắc L’Hospitale:
Giả sử trong lân cận của điểm $x = a$ các hàm $f(x)$ và $g(x)$ cùng có đạo hàm, đồng thời chúng cùng tiến về $0$ hoặc tiến ra $\infty $ khi $x \to a$. Ta có: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\matrix{ {}&{\mathop = \limits^L }&{} }\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}}$$
✪ Vô cùng bé tương đương:
●Định nghĩa:
Hàm $\alpha (x)$ được gọi là lượng vô cùng bé (infinitesimal – VCB) khi $x\to {{x}_{0}}$ nếu:
$\mathop{\lim }\limits_{x\to {{x}_{o}}}\,\alpha (x)=0$
Ta cũng có khái niệm VCB cho quá trình $x\to\infty $ thay vì $x\to {{x}_{0}}$
Ví dụ: $x^m$ , $sinx$ , ${\tan}x$ , $ln(1+x)$ , $1 - \cos x$ là các VCB khi $x\to 0$
●Tính chất:
_ Nếu ${\alpha}(x)$ là VCB, $C$ là hằng số thì $C.{\alpha}(x)$ là VCB.
_ Nếu ${{\alpha}_{1}}(x)$, ${{\alpha}_{2}}(x)$, ${{\alpha}_{3}}(x)$, ..., ${{\alpha }_{n}}(x)$ là một số hữu hạn các VCB thì tổng ${{\alpha }_{1}}(x)+ {{\alpha }_{2}}(x)+ … + {{\alpha }_{n}}(x)$ cũng là VCB.
_ Nếu $\alpha (x)$ là VCB và $f(x)$ là hàm bị chặn thì tích ${\alpha}(x).f(x)$ cũng là VCB.
●So sánh 2 VCB:
Cho $f, g$ là hai lượng VCB trong 1 quá trình. Giả sử
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{x}_{o}}} \dfrac{f(x)}{g(x)}= k$
_Nếu $k = 0$ thì $f$ là VCB bậc lớn hơn $g$. Ký hiệu: $f = {\theta}(g)$ (hoặc $f = 0(g)$ )
_Nếu $k = {\pm}{\infty}$ thì $g$ là VCB bậc lớn hơn $f$. Ký hiệu $g = {\theta}(f)$
_Nếu $k \ne 0$, $k \ne \pm \infty$ thì $f$, $g$ là hai VCB cùng bậc. Đặc biệt, nếu $k = 1$ thì ta nói $f$, $g$ là VCB tương đương. Ký hiệu: $f \sim g$
_Nếu không tồn tại giới hạn thì ta nói $f$ và $g$ không so sánh được với nhau .
_Ví dụ:
$1-cosx , x^2$ là hai VCB ngang cấp khi $x \to 0$ .
$1 – cosx$ là VCB cấp cao hơn $x$ khi $x \to 0$
●Các VCB bé tương đương cần chú ý:
Nếu $x \to 0$ thì:
${\sin}x \sim x$ , ${\tan}x \sim x$
$1 - \cos x \sim { \dfrac{1}{2}}x^2 $ , ${\arcsin}x \sim x$
$(e^x-1) \sim x$ , $ln(1+x) \sim x$
$\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^a} - 1} \right] \sim ax$ .
●Ứng dụng vào tính giới hạn:
_Nếu ${\alpha}(x) = \theta({\beta}(x))$ thì ${\alpha}(x)+ {\beta}(x) \sim {\beta}(x)$
_Nếu $\mathop{\lim }\limits_{x\to {{x}_{o}}}\, \dfrac{f}{g}=k$
Đồng thời $f \sim f_1; g \sim g_1$ thì $\mathop{\lim }\limits_{x\to {{x}_{o}}}\, \dfrac{{{f}_{1}}}{{{g}_{1}}}= k$

✪ 7 dạng vô định của giới hạn:($\frac{0}{0} , \frac{\infty }{\infty } , 0.\infty , \infty - \infty , {0^0} , {\infty ^0 } , {1 ^\infty }$)
●Dạng $\frac{0}{0}$ và $\frac{\infty }{\infty }$:
_Các cách làm:
+Đặt nhân tử chung để rút gọn mẫu và tử sao cho không còn ở dạng vô định nữa.
+Sử dụng quy tắc L’Hospitale đạo hàm cả tử và mẫu cho đến khi mất dạng vô định.
+Sử dụng vô cùng bé tương đương nếu có thể.

●Dạng $0.\infty $ ($\infty .0 $):
_Các cách làm:
+Cố gắng rút gọn, tối giản để mất dạng vô định.
+Đưa về dạng $\frac{0}{0}$ bằng cách chuyển $\infty$ xuống mẫu như sau:
$0.\infty = \frac{0}{{(\frac{1}{\infty })}} = \frac{0}{0}$
+Đưa về dạng $\frac{\infty}{\infty}$ bằng cách chuyển $0$ xuống mẫu như sau:
$0.\infty = \frac{\infty}{{(\frac{1}{0})}} = \frac{\infty}{\infty}$
+Kết hợp sử dụng vô cùng bé tương đương nếu có thể.

●Dạng $\infty - \infty $:
_Các cách làm:
+Liên hợp để đưa về dạng quen thuộc và giải

●Dạng ${0^0}$ , ${\infty ^0 }$ và ${1 ^\infty }$ :
_Các cách làm:
+Ta sử dụng công thức sau :
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f{(x)^{g(x)}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x).\ln (f(x))}}$
+Riêng với dạng ${1 ^\infty }$ ta được phép dùng thêm công thức:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f{(x)^{g(x)}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x).(f(x) - 1)}}$
+Sau khi dùng công thức có thể sẽ xuất hiện dạng $\frac{0}{0}$,$\frac{\infty }{\infty }$ hoặc $0.\infty $ . Lúc đó thì lại quay về phá giải các dạng đó :3 .
Có thể bạn quan tâm
ღ Lưu ý: Mình chỉ sử dụng Fanpage Theza2 để bình luận. Mọi nick khác đều không phải mình.
Mình hiện tại có những việc riêng phải bận cho cuộc sống của mình, sẽ không còn thường xuyên hồi đáp các bình luận, mong được lượng thứ..

...
1/4/200/7243